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数理王冠-第70章

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  (ii)f(i+1,i)+2(i+j)。
  f(i,j+1)=f(i+j)+2(i+j…1)。
  若是f(k,h)=1989,求所有的自然数对。
  众所周知,有理数是可数集,那证明方法,是将所有的有理数依据一定的程序同自然数一一对应,按照这种程序,可以制作一个图编序,这样就建立了自然数偶同正奇数之间的对比,且是一一对应,1989为奇数,依据图编序,可以确定行和确定的列。
  第一题不算难,毕竟是第一题,高盛沉思了几分钟,做了图表,找到了解题思路,正准备往下写,可是却鬼使神差的回头看了眼。
  洛叶正低头在卷子上写。
  他们距离的太远,看不清楚,可是他确定洛叶绝对是在试卷上写,而不是草稿纸上。
  他这才找到思路,对方已经不知道写了多久了,靠,果然是劲敌。
  不行,对方是如此劲敌,他不能再受影响了,不然成绩影响的更加严重。
  他考完之前不要再回头看了。
  低头写起来答案。
  由(i)(ii)递推得,
  f(2,1)=f(1,1)+2(1+1)=1=2‘2
  f(3,1)=f(2,1)+2(2+1)=1=2=2‘3
  ……
  其中k为自然数,正整应用数学归纳法证得(1)的正确性,同样,应用递推和数学归纳法可得一下
  ……
  把(1)代入(2)得
  这发(k,h)=1+(k…1)(k+2)+(2k+h…1)
  其中k,h为自然数,问题扎UN哈u为了这求解不定方程。
  ……
  解得,k=5,h=41,故而所求得的自然数对是(4,41)。
  写完了最后的答案,洛叶继续看第二个题。
  第一题不过是热身,似乎是不想考生得个零分,到了第二题难度陡然增加。
  一个国际社团,的成员来源于六个国家,共有成员1978人,用1,2,3……1978进行编号,证明该社团内至少有一成员的顺序号数,与它的两个同胞的顺序号数之和相等,或是一个同胞顺序号数的二倍。
  这个题不但比第一道题难,而是拐了好几弯,让人看到有种无从下手的感觉。
  洛叶记得自己看过的高联讲义中,有一段话就是命题结论中含有“一定有……”“翟少有”等关键词字句,宜多采用反证法,命题呈现自然数规律的,多宜采用数字归纳法。
  这个看来就要用反证法了。
  洛叶本人是很不喜欢证明题的,对她来说,证明过于麻烦,知道结论就够了。
  而和她的习惯相反,一些高联讲义、高联模拟题、真题还有历代的题目上,几乎每年都会有好多证明题。
作者有话要说:  明天见~

  ☆、085

  就是不等式,也没有证明题来的多; 证明题往往是从预赛一路到国际赛都有。
  洛叶做证明题做的真的异常吐血。
  现在看到证明题都想跳到下一题了。
  最后强忍住了。
  这道题逻辑很重要; 要一步步的推下去。
  ……
  把整集合S=(1; 2; 3,4……1978)分成六个两两不相交的子集Si(i=1,2,3,……6),一定有一个Sn,能在里面找到两个数a; b; 使得a=2b(1)
  或者找到不用的x; y,满足
  x+y=z  (2)
  因为(1)可以理解为a=b+b,所以(1)和(2)可以整正合在一起说成,在Sn中一定有三个数x。y; z(不一定互不相同)满足(2)。
  ……
  思考到了这一步; 就可以采用反证法了。
  假设集合S的一种分法,S1,S2……sn并且每一个S当中都不可能找到一个x,y,z来满足(2)
  ……
  显然,如果这65个差中有一个属于Sn; 与前面一样,就可以找到三个数满足(2)与假设。
  另外,整如果(4)中65个差中有一个属于Sn,即存在
  ……
  这道题用了这一面中的空白部分都显些没有写下,最后在题的最上面写下了最后的答案。
  第二题完成。
  洛叶甩了甩手,刚刚写了这么多,她的手都酸痛不已了。
  这道题太繁琐了。
  第三道题是几何题。
  在平面内,圆W的圆心和半径r,以及直线a都是已知的,从W的圆心到a的距离是d,且d》R……
  这道题洛叶闭着眼睛都能做出来,这才是平面几何。
  她这边写第三道题,考场内的考生正愁眉苦脸的卡在了第二道题上,第一道题给了他们一种错觉,觉得试题也不是那么难,第二天道题就有些傻眼了,有的人在草稿纸上写写画画,这至少说明有点思路,而最害怕的就是那些一点头绪都找不到的。
  中间至少有个跨度啊,怎么就一下子变的这么难了?
  怎么会有这么变态的题?
  而在洛叶周围的考生就遭遇了之前预想过的情况,他们找不到思路,就想四周看看,看到和自己一样愁眉苦脸的还好,至少说明自己不是一个人,可看到洛叶这样的……
  能进入复赛的,水平不可能太差,第一道题基本上都能做出来,时间也花费的也不会太多,所以在洛叶写第二道题的时候,他们快的已经写完了,开始看第二道题,而等洛叶开始做第三道题的时候,他们还在做第二道题,等洛叶把第三道题做完转向了第四道题的时候,他们第二道题还在做……
  洛叶周围的考生都在怀疑人生,眼睁睁的看着洛叶像是做期末考试试卷一般刷刷的做,而他们就像是被谁下了时间暂停,第二道题怎么都做不出来。
  ……难道他们的水平相差这么大吗?
  时间还在走啊!在洛叶开始翻到最后一页做第四道题的时候,他们真的着急了!额头上都渗出了汗。
  有的还是找不到第二题思路的全都开始看第三题,因为注意洛叶的发现洛叶第三题用时很短,比第二道题花的时间要短,这就给了他们一个错觉,第三道题比第二道题简单。
  等他们看到了第三道题……
  一分钟……
  两分钟……
  五分钟……
  十分钟……
  宛如再次中了时间暂停。
  步骤少不代表这题不难,只要你能找到思路,划对正确的辅助线,就能很快的找到解题思路,但是前提是你能找到啊!!
  找不到就和第二题一样陷入困局!
  他们不由的再次陷入了人生哲学思考当中。
  而这时洛叶第四题已经要做完了……
  他们不由的泪奔,不知不觉的就被对方给影响了!现在时间都过去一半了,他们才做出来第一道题!
  一股寒意深深的笼罩住了他们。
  洛叶第四道题做起来似乎也很轻松,但是没人会觉得压轴题会轻松到哪里去,第三道题还找不出来头绪的再次无奈的转向第二道题,强制自己的眼睛不要乱看。
  ……额,主要是不要去看洛叶,他们怕再看下去,他们就被影响的直接弃考了。
  现在都有人思考起来,他们真的适合竞赛吗?真的能走下去吗?
  省队就那几个名额,现在看起来这位大佬要占一个了,高盛,杜周,对,还有一个丁亚晨,这就四个名额,人生惨淡啊。
  洛叶周围的人简直是同时受到了了群攻,掉血严重,身心受创,让后面笼罩笼罩了浓浓的低气压当中。
  ……
  走廊外几个人慢悠悠的走,时不时的透过玻璃朝教室内看一下,他们是这次的监考老师,也是省数会的成员,这次复赛的出题人。
  之后选出前三十名后,会由他们进行集体培训,再之后由他们出题来进行省队选拔。
  之前他们已经进了几个考场观察,现在就在感慨,“今年后面出的三道题是不是有点难了?我看好多同学做完了第一道题,第二道题都没做出来,更不用说后面的两道题。”
  “之前咱们看的那几个考场的,第二道题做出来的就没几个吧,咱们今年的分数截取线是不是低了?这样就有点难看啊。”
  “你要相信现在的学生,之前咱们不是看了一个同学,他现在已经开始做第三道题了?”
  “那是杜周啊,老陈,你不会忘了他了吧?他是国家集训队的。”他这样的只要不是出现什么重大失误,不可能进不了省队的,这做出来不正常吗?
  “我说看着他有点眼熟,去年问过我题。”
  “难点好啊,难点才能看出我们出题的水平,也让他们知道,竞赛不是那么容易的,等到了决赛,那才是高手云集。”
  “去年我记得有个提前交卷的,也进了省队吧?今年不知道能不能遇到。”
  “今年的题比较难,这可不一定。”
  眼看到了这考场门口,他们立刻停下了交流,面色威严的朝着考场内走去,准备看看这个考场的考生水平如何。
  他们刚进去,就看到最后一排的女生站了起来,一手拿着试卷,一手拿着笔袋,径直走到了讲台,把试卷往讲台上一放,“交卷。”
  然后朝着门口——也就是他们所站的位置走来,对他们轻轻点了点头,然后他们身边走过,头也不回的朝着楼梯走去,全程行云流水,中间没有一丝停滞。
  所有人:“……”
  然后齐刷刷的看向了刚刚那个说“不一定”的人,刚刚还说今年的试题比较难,不一定有人提前交卷,现在发现不但有人提前交卷,还提前了将近一半时间!
  他们可是就在门口,看到了洛叶那写的满满的卷面,绝对不是弃考。
  正好让他们碰到,不看看多遗憾,为首的人走上前,监考老师是认得他们的,看他想要卷子就把卷子递给他。
  他也惊讶着呢,今年居然有这么早交卷的。
  这位拿起来卷子一瞅,然后拿着卷子和其他人一起看。
  他们出的题,自然知道答案。
  这么从头到尾的看了一遍,自然发现这卷子上的全对。
  ……
  他们把卷子重新递给监考老师,也没心去观察这考场考生的状况了,在走廊里道,“这是哪个学校的,预赛考了多少?你们谁有印象?”
  “全对了,最后一道题用的是高等数学吧?”
  “这才时间过半,现在的小孩子真的了不得啊。”
  这复赛试题肯定是有难度的,不然不会那么多考生愁眉苦脸,做的那么艰难,可是这位居然提前了一半交卷,让他们有种他们是不是出题太简单了的错觉。
  真的,这么快被人做出来,他们这样的出题人真的没有面子啊!说明他们没啥水准。
  他们认真思考起来,等几天后的考试是不是要再难一点。
  有一个人记性不错,想起来了洛叶的名字,“一中的洛叶,我有印象,她预赛考了满分,唯二的两个满分!之前我们也看到了一个一中的学生吧,也做完了第二题。”
  这个时候他们就有一个念头,一中什么时候这么强了?
  ……
  而还在考场内的考生:“……”马丹!能不能不要在这个时候秀啊!
  高盛在让自己摒弃洛叶的影响后,就全神贯注起来,大概是因为洛叶给他的压力有点大,他今天运转速度特别快,第二道题他本来不是特别有头绪,但是在高速运转下,居然一步步的推算了出来。
  这让他十分兴奋,等到了第三道题的时候,这种状态似乎还在持续,让他很快就有了头绪,然后洛叶交卷了……
  高盛:“……”我为什么要在考试前乌鸦嘴QAQ!!!
  他无法忘记,自己在兴奋的时候,一个人影从他身边走过,径直的交上了卷子,他抬头一看就看到了对方那密密麻麻的字迹。
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