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的解析几何、微积分学相比，其研究内容可以用“初等数学”来概括，因此
数学界称这一时期为“初等数学时期”。
古希腊数学的全盛期在亚历山大前期，当时数学家云集在当时的文化中
心——亚历山大里亚，进行教学与研究，涌现出象阿基米德、欧几里得、阿
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波罗尼斯等众多伟大的数学家，造成一时的声势。亚历山大后期的数学成就
虽不象前期那么大，但在托勒密、海伦、门纳劳斯、帕普斯等人的辛勤劳作
下，亚历山大学者仍继承了前期数学家的遗产，不断有所发现，推动着数学
的进步与发展。
（1）托勒密
托勒密 （约公元85—165年）是古代天文学的集大成者。他继承前贤尤
其是喜帕恰斯的成就，加以整理发挥，编入他的《天文集》13卷中。该书是
亚历山大学派或整个古代天文学的总结，它的基本理论是地球中心说。此书
包括从0°—90°每隔半度的弦表，其作用相当于从0°—90°每隔1/4°的
正弦函数表。
托勒密采用巴比伦人的60进位制，把圆周分为360°。另一方面，又将
半径分为60等份，每一份分为60小份，每一小份再分为更小的份，依次类
推。他把这些小份依次称为“第一小份”、“第二小份”。后来“小”变成
了“分”（minte），“第二”变成秒（sec…ond），这就是“分、秒”名称
的来源。
托勒密取半径的1/60作为长度的单位，例如60°的弦长是60°、对
90°的弦长是 2 60°或84 °51 ′11″。
他利用圆内接正五边形和十边形的边长推导对36°与72°的弦长。其他
的弦长，则根据“托勒密定理”来推导。实质上托勒密已经得到下列公式：
2 2
sinx＋cosx=1、sin（x—y）＝sinx cosy—cosx
x 1
siny、cos （x＋y）= cosx cosy
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（3）其他
此外，希腊学者尼科马霍斯（公元100年前后，杰拉什地方今约旦北部
一带的人）；因著有《算术入门》一书，通俗易懂，明白晓畅，成为算术入
门的基础，对后世也产生了较大的影响。
2。印度的数学
古代印度也是世界文明的发源地之一，曾对人类文明作出过不可磨灭的
贡献。在古代后期，印度文明进一步发展，在数学上的突出成就是对数码的
完善和阿耶波多第一对三角学的卓越贡献。
（1）印度数码的完善
现代国际上通用的阿拉伯数码最早是由印度人发明的，它 的发明有一
段漫长而复杂的历史。
最初印度人用梵文（印度古代文字）的字头表示数码，即早在公元前2500
年前后出现的“哈拉巴数码”，其数码形状是：
■
公元前后，古印度则通行起卡罗什奇数码和婆罗门数码。其中，卡罗什
奇数码的形状为：
■
婆罗门数码的形状为：
卡罗什奇数码：■
婆罗门数码：■
公元2世纪，数码又写成下面的形状：■
公元5世纪后印度数码中已明确出现了零的符号，使记数逐渐演变为十
进位值制。
8世纪以后，则演变为“德温那格利”（Devanagri）数码，记为：■
零号是印度人的卓越发明，没有零号，就没有完整的位值制记数法，这
种记数法能用简单的几个数码表示一切数。世界上也有不少民族懂得零的道
理，然而进行系统地研究、处理和介绍零，还是以印度人的功劳最大。
公元773年，巴格达城的印度天文学家，开始把印度的天文学及数学书
籍译成阿拉伯文，使印度的数码传到中亚细亚和西亚。当时印刷术还没有发
明，书籍全用手抄，字体因人因地而异，出入很大。
12世纪之初，欧洲开始将大量阿拉伯文的数学书籍译成拉丁文。意大利
的斐波那契是当时最出色的学者，他用拉丁文写成《算盘书》，将印度的阿
拉伯数码和记数制度介绍给欧洲人，书的开头说：“印度的九个数目字是9、
8、7、6、5、4、3、2、1，用这九个数字以及阿拉伯人叫做Sift（零）的记
号0，任何数都可以表示出来”。当时这些数码和现代的写法仍然有很大的
差别。
印度数码传入中亚细亚时，梵文的空（Sunya）被译成阿拉伯文Sifr，
传入欧洲后变成拉丁文Zephirum，以后再变成英文的零字Cipher和Zero。
欧洲人只知道这些数码从阿拉伯人传来，故称之为“阿拉伯数码”。
以后，中国的印刷术传到欧洲，在1480年英国的卡克斯敦（1422—1491）
出版的印刷本书籍中，数码已相当接近于现代的写法：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
到1522年，英国同斯托（1474—1559）的书才和现在的写法基本上一致，
以后逐渐固定下来。
阿拉伯数码传入中国，最早是在13、14世纪，但迟迟不被采用。到1859
年伟烈亚力和李善兰合译《代微积拾级》一书中，将常数A、B、C、D译成甲、
乙、丙、丁；X、Y译成天、地；阿拉伯数码译成一、二、三、四等。
中国迟迟不采用阿拉伯数码，主要原因可能是中国自古以来使用筹算式
数码记数法，也是十进位制，汉字数码和阿拉伯数码相比，后者并未先进多
少。而欧洲中世纪用的是罗马字母非位值制记数法，冗长笨拙，和阿拉伯数
字相比则落后许多，故容易接收。
（2）阿耶波多第一
阿耶波多第一（约公元476—550年）是我们知道的印度最早的数学家，
生于恒河南岸的巴连弗邑，在今印度东北部比哈尔邦的巴特那市。公元494
年写成《阿耶波多文集》，是对自己一生成就的总结，该书已失传。近年来
又发现《阿耶波多历数书》，包括《天文表集》、《算术》、《时间的度量》、
《球》等部分，共有诗121行，其中两篇论数学，分别论述了记数法、整数
的运算法则、自然数平方、立方和公式、分数的约分和通分法则、三率法、
算术数列、三角垛等算术问题、假设法、逆形法和特殊的线性方程组解法及
一次不定方程（组）的解法。
阿耶波多指出圆周率之值为：“100加4再乘8，再加62000，就得到
104×8
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在秦以前，中国数学虽已有了丰富的内容，但比较孤立，没有建立起内
部联系。到秦汉时期，随着生产力的提高，数学也获得了很大的发展，最早
计算工具——算筹的普遍运用，最早的数学著作——《周髀算经》（汇集西
周以来的科研成果）的出现，以及第一部数学方面的专著《九章算术》的形
成，都代表了当时数学的最高成就，尤其是《九章算术》的出现，标志着中
国数学体系的初步形成，从此，中国数学便进入了九章时代。
①算筹的普遍运用
算筹是中国古代的主要计算工具之一，它具有简单、形象、具体等长处，
它是经过长期演变而形成的。至迟在春秋末年，我国劳动人民就在生产实践
中创造出算筹，最初一般是用小竹棍做的，称为筹、算子或策（另外，投壶、
六博游戏等所用的竹棍也叫筹）。到了西汉时期已普遍使用，并形成了一定
的规格。据《汉书·律历志》记载，算筹用竹作成，长约20厘米 （六寸），
直径约3毫米（1分），271枚为一组，称为一握。用算筹进行运算，有纵横
两种筹式：
纵式：■
横式：■
分别表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九个自然数。算筹的摆法是纵横
相间，个位为纵，十位为横，若是零，便空一位。因此便可进行加、
减、乘、除、开方等运算。这是中国人民独特的创造。
② 《周髀算经》的出现
《周髀》是一部主张盖天论的天文学著作，但在书中有相当繁琐的数字
计算和勾股定理的引用，成为我国最早的数学著作，因此地位相当重要。书
中的数学内容主要有：
a。记录了分数的乘除法、公分母的求法以及分数的应用。这些计算方法
后来被广泛运用。
b。讨论了日影的测量，并列出一年中各个节气的日影长度表。
c。出现了等差级数。
d。引用了勾股定理，并用到了开方的方法。其公式是：
C = a2
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二章）：讲各种比例问题，特别是关于各种粮谷间的比例交换问题。衰分（第
三章）：主要讲解一些按比例分配的问题。少广（第四章）：讲由已知面积
和体积求边的问题，其中涉及平方，立方的方法。
商功（第五章）：主要讲立体体积的计算问题。
均输 （第六章）：主要讲按均输法合理安排各地区运输赋粟和分派徭役
等问题。
盈不足 （第七章）：主要讲盈亏问题的解法和比例问题。
方程 （第八章）：讲关于多元一次方程组的解法，还讲解了正负数的概
念及正负数加减法的法则。
勾股（第九章）：主要讲勾股定理及其应用，并提出了一般二次方程的
解法问题。
《九章算术》成书后，一直是中国古代的数学教材，在民间也广泛流传，
成为中国数学著作中影响最大的一部。另外，它对世界数学也产生了很大的
影响，它曾经流传到朝鲜和日本，推动了朝鲜和日本的古代数学的发展。苏
联、日本、德国、英国等国都有它的原文译本，受到各国学者、专家的重视，
在世界数学史上成为与《几何原本》相提并论的重要著作。
它的伟大，在于它总结了中国古代从西周一直到东汉的数学成果，并初
步地形成了中国的数学体系，这可以从它的内容中反映出来：
在算术上，它的成就是比较完整地讲解了分数计算方法，包括四则运算、
通分、约分、化代分数为假分数等；各种比例问题的解决；“盈不足”问题
的出现及解决；以及解释一些数学难题等。该书中所用的步骤和方法大体与
现代的一致，这是世界上第一次系统的叙述分数运算，比西方要早得多。书
中在解比例问题时出现了单比例公式：
所有数×所求率
所求数=
所有率
另外还有复比例和连比例等方面的内容，已包括了现代算术中的全部比
例的内容，形成了一个完整的系统。到6世纪�