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上帝掷骰子吗--量子物理史话 作者:castor_v_pollux-第21章

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况总和。这同样有两种办法可以做到:先在A地上I号线随即下车,然后从A地坐II号线去B

地。收费分别是1块(矩阵I第一行第一列)和3块(矩阵II第一行第二列),所以1×3=3

。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地,收费2块(矩阵I第一行第二列),然后在B地

转II号线原地上下,收费1块(矩阵II第二行第二列),所以2×1=1。所以最终答案:b

=1×3+2×1=5。

大家可以先别偷看答案,自己试着求c和d。最后应该是这样的:c=3×1+1×4=7,d=3

×3+1×1=10。所以:

┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ = ┃ 7 10┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛

很抱歉让大家如此痛苦不堪,不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌

生的话,那么我们很快就要给你更大的惊奇,但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才

是。圣人说,温故而知新,我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜,还是巩固巩固我

们的基础吧,让我们把上面这道题目验算一遍。哦,不要昏倒,不要昏倒,其实没有那么

乏味,我们可以把乘法的次序倒一倒,现在验算一遍II×I:

┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ = ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛

我知道大家都在唉声叹气,不过我还是坚持,复习功课是有益无害的。我们来看看a是什

么,现在我们是先乘搭II号线,然后转I号线了,所以我们可以从A地上II号线,然后下来

。再上I号线,然后又下来。对应的是1×1。另外,我们可以坐II号线去B地,在B地转I号

线回到A地,所以是3×3=9。所以a=1×1+3×3=10。

喂,打瞌睡的各位,快醒醒,我们遇到问题了。在我们的验算里,a=10,不过我还记得

,刚才我们的答案说a=9。各位把笔记本往回翻几页,看看我有没有记错?嗯,虽然大家

都没有记笔记,但我还是没有记错,刚才我们的a=2×4+1×1=9。看来是我算错了,我

们再算一遍,这次可要打起精神了:a代表A地上车A地下车。所以可能的情况是:我搭II

号线在A地上车A地下车(矩阵II第一行第一列),1块。然后转I号线同样在A地上车A地下

车(矩阵I第一行第一列),也是1块。1×1=1。还有一种可能是,我搭II号线在A地上车

B地下车(矩阵II第一行第二列),3块。然后在B地转I号线从B地回到A地(矩阵II第二行

第一列),3块。3×3=9。所以a=1+9=10。

嗯,奇怪,没错啊。那么难道前面算错了?我们再算一遍,好像也没错,前面a=1+8=9

。那么,那么……谁错了?哈哈,海森堡错了,他这次可丢脸了,他发明了一种什么样的

表格乘法啊,居然导致如此荒唐的结果:I×II ≠ II×I。

我们不妨把结果整个算出来:


┏ ┓
┃ 9 5┃
I×II= ┃ 7 10┃
┗ ┛
┏ ┓
┃ 10 5┃
II×I= ┃ 7 9┃
┗ ┛

的确,I×II ≠ II×I。这可真让人惋惜,原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创

意的,现在看来浪费了大家不少时间,只好说声抱歉。但是,慢着,海森堡还有话要说,

先别为我们死去的脑细胞默哀,它们的死也许不是完全没有意义的。

大家冷静点,大家冷静点,海森堡摇晃着他那漂亮的头发说,我们必须学会面对现实。我

们已经说过了,物理学,必须从唯一可以被实践的数据出发,而不是靠想象和常识习惯。

我们要学会依赖于数学,而不是日常语言,因为只有数学才具有唯一的意义,才能告诉我

们唯一的真实。我们必须认识到这一点:数学怎么说,我们就得接受什么。如果数学说I

×II ≠ II×I,那么我们就得这么认为,哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们,我们也

不能改变这一立场。何况,如果仔细审查这里面的意义,也并没有太大的荒谬:先搭乘I

号线,再转II号线,这和先搭乘II号线,再转I号线,导致的结果可能是不同的,有什么

问题吗?

好吧,有人讽刺地说,那么牛顿第二定律究竟是F=ma,还是F=am呢?

海森堡冷冷地说,牛顿力学是经典体系,我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的

任何奇特性质过分大惊小怪,那会让你发疯的。量子的规则,并不一定要受到乘法交换率

的束缚。

他无法做更多的口舌之争了,1925年夏天,他被一场热病所感染,不得不离开哥廷根,到

北海的一个小岛赫尔格兰(Helgoland)去休养。但是他的大脑没有停滞,在远离喧嚣的

小岛上,海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。而且,他很快就

获得了成功:事实上,只要把矩阵的规则运用到经典的动力学公式里去,把玻尔和索末菲

旧的量子条件改造成新的由坚实的矩阵砖块构造起来的方程,海森堡可以自然而然地推导

出量子化的原子能级和辐射频率。而且这一切都可以顺理成章从方程本身解出,不再需要

像玻尔的旧模型那样,强行附加一个不自然的量子条件。海森堡的表格的确管用!数学解

释一切,我们的想象是靠不住的。

虽然,这种古怪的不遵守交换率的矩阵乘法到底意味着什么,无论对于海森堡,还是当时

的所有人来说,都还仍然是一个谜题,但量子力学的基本形式却已经得到了突破进展。从

这时候起,量子论将以一种气势磅礴的姿态向前迈进,每一步都那样雄伟壮丽,激起滔天

的巨浪和美丽的浪花。接下来的3年是梦幻般的3年,是物理史上难以想象的3年,理论物

理的黄金年代,终于要放射出它最耀眼的光辉,把整个20世纪都装点得神圣起来。

海森堡后来在写给好友范德沃登的信中回忆道,当他在那个石头小岛上的时候,有一晚忽

然想到体系的总能量应该是一个常数。于是他试着用他那规则来解这个方程以求得振子能

量。求解并不容易,他做了一个通宵,但求出来的结果和实验符合得非常好。于是他爬上

一个山崖去看日出,同时感到自己非常幸运。

是的,曙光已经出现,太阳正从海平线上冉冉升起,万道霞光染红了海面和空中的云彩,

在天地间流动着奇幻的辉光。在高高的石崖顶上,海森堡面对着壮观的日出景象,他脚下

碧海潮生,一直延伸到无穷无尽的远方。是的,他知道,this is the moment,他已经作

出生命中最重要的突破,而物理学的黎明也终于到来。


*********
饭后闲话:矩阵

我们已经看到,海森堡发明了这种奇特的表格,I×II ≠ II×I,连他自己都没把握确定

这是个什么怪物。当他结束养病,回到哥廷根后,就把论文草稿送给老师波恩,让他评论

评论。波恩看到这种表格运算大吃一惊,原来这不是什么新鲜东西,正是线性代数里学到

的“矩阵”!回溯历史,这种工具早在1858年就已经由一位剑桥的数学家Arthur Cayley

所发明,不过当时不叫“矩阵”而叫做“行列式”(determinant,这个字后来变成了另

外一个意思,虽然还是和矩阵关系很紧密)。发明矩阵最初的目的,是简洁地来求解某些

微分方程组(事实上直到今天,大学线性代数课还是主要解决这个问题)。但海森堡对此

毫不知情,他实际上不知不觉地“重新发明”了矩阵的概念。波恩和他那精通矩阵运算的

助教约尔当随即在严格的数学基础上发展了海森堡的理论,进一步完善了量子力学,我们

很快就要谈到。

数学在某种意义上来说总是领先的。Cayley创立矩阵的时候,自然想不到它后来会在量子

论的发展中起到关键作用。同样,黎曼创立黎曼几何的时候,又怎会料到他已经给爱因斯

坦和他伟大的相对论提供了最好的工具。

乔治?盖莫夫在那本受欢迎的老科普书《从一到无穷大》(One; Two; Three…Infinity)

里说,目前数学还有一个大分支没有派上用场(除了智力体操的用处之外),那就是数论

。古老的数论领域里已经有许多难题被解开,比如四色问题,费马大定理。也有比如著名

的哥德巴赫猜想,至今悬而未决。天知道,这些理论和思路是不是在将来会给某个物理或

者化学理论开道,打造出一片全新的天地来。



上帝掷骰子吗——量子物理史话(5…4)

 版权所有:castor_v_pollux 原作   提交时间:2003…10…14 00:28:18



第五章 曙光



从赫尔格兰回来后,海森堡找到波恩,请求允许他离开哥廷根一阵,去剑桥讲课。同时,

他也把自己的论文给了波恩过目,问他有没有发表的价值。波恩显然被海森堡的想法给迷

住了,正如他后来回忆的那样:“我对此着了迷……海森堡的思想给我留下了深刻的印象

,对于我们一直追求的那个体系来说,这是一次伟大的突破。” 于是当海森堡去到英国

讲学的时候,波恩就把他的这篇论文寄给了《物理学杂志》(Zeitschrift fur Physik)

;并于7月29日发表。这无疑标志着新生的量子力学在公众面前的首次亮相。

但海森堡古怪的表格乘法无疑也让波恩困扰,他在7月15日写给爱因斯坦的信中说:“海

森堡新的工作看起来有点神秘莫测,不过无疑是很深刻的,而且是正确的。”但是,有一

天,波恩突然灵光一闪:他终于想起来这是什么了。海森堡的表格,正是他从前所听说过

的那个“矩阵”!

但是对于当时的欧洲物理学家来说,矩阵几乎是一个完全陌生的名字。甚至连海森堡自己

,也不见得对它的性质有着完全的了解。波恩决定为海森堡的理论打一个坚实的数学基础

,他找到泡利,希望与之合作,可是泡利对此持有强烈的怀疑态度,他以他标志性的尖刻

语气对波恩说:“是的,我就知道你喜欢那种冗长和复杂的形式主义,但你那无用的数学

只会损害海森堡的物理思想。”波恩在泡利那里碰了一鼻子灰,不得不转向他那熟悉矩阵

运算的年轻助教约尔当(Pascual Jordan;再过一个礼拜,就是他101年诞辰),两人于是

欣然合作,很快写出了著名的论文《论量子力学》(Zur Quantenmechanik),发表在《

物理学杂志》上。在这篇论文中,两人用了很大的篇幅来阐明矩阵运算的基本规则,并把

经典力学的哈密顿变换统统改造成为矩阵的形式。传统的动量p和位置q这两个物理变量,

现在成为了两个含有无限数据的庞大表格,而且,正如我们已经看到的那样,它们并不遵

守传统的乘法交换率,p×q ≠ q×p。

波恩和约尔当甚至把p×q和q×p之间的差值也算了出来,结果是这样的:

pq – qp = (h/2πi) I

h是我们已经熟悉的普朗克常数,i是虚数的单位,代表…1的平方根,而I叫做单位矩阵,

相当于矩阵运算中的1。波恩和约尔当奠定了一种新的力学——
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