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们这一对给人一种古怪的感觉。哥德尔个子很小，在他的衬托下，爱因斯坦看起来相当高。他们曾经讨论过深奥的数学或物理问题吗？（哥德尔不时地研究一些与广义相对论有关的问题。）或者他们的谈话仅仅是关于天气和他们自身的健康问题？
哥德尔的结论中与我们的讨论有关的部分，是关于不可判定性的问题，即：对于任何一个数学公理系统，原则上总存在一些命题，这些命题在已有的公理基础上不可判定。换句话说，理论上有一些定理既不能被证实，也不能被证伪。
最突出的不可判定的命题是与公理无关的一种陈述。你可以通过引入这样一个陈述作为一个新公理，或引入一个与之相反的陈述，来扩充已有的那组公理。
但是，另外一些不可判定的命题则具有不同的性质。例如，假定一个关于正整数的不可判定的命题的形式如下：“每个大于2 的偶数都有如下性质？？”如果这样一个命题有任何例外，原则上我们可以把它找出来。我们可用足够长的时间，连续检验每个偶数（4，6，8，10，？？），直到发现一个不具备命题中所说性质的数为止。这样就直接证明了该命题是错误的，同时也推翻了它的不可判定性，因为不可判定性的严格意义是，命题不能被证实或证伪。因而，这一命题没有例外情形。一般来说，“真实”这一词的意义是说，该命题是真实的。
下面我们将更加具体地讨论这一点。考虑这样一个特殊的命题，它的正确性经过几个世纪的科学家们的努力也没有得到证明，尽管也没有发现任何例外情况。这个命题就是哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture），其内容是，每个大于 2 的偶数等于两个素数之和。素数是大于1，且不能被自身和1 以外的任何数整除的数。根据这一点可知，最小的几个素数是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31 和37。从列出的这些数中可以看出，4 和62 之间的任何偶数都可以用至少一对素数之和来表示。计算机的计算表明，某个相当相当大的数以内的各个偶数都有这样的性质。然而，这样的计算还不能说那个猜想就被证实了，因为对于更大的数它仍然可能失败。只有严密的数学证明才能将猜想变成一个已证明的定理。
没有理由认为哥德巴赫猜想是不可判定的，我们只是假定它是不可判定的。那么由此可知，它应该是真实的，尽管不能证明这一点，因为它可能没有任何例外的情况。任何大于2 的偶数而不能表示为2 个素数之和的存在，将会否证这个猜想，并因此推翻它的不可判定性。
如蔡廷所证明的那样，在问题的背景中往往隐藏着这样一些正确但不可证的理论，或许其中有一个理论能使一个我们认为不可压缩的长信息串能被压缩，或使一个我们认为是最短的信息串能被进一步压缩。因此，一般来说，我们不能确定算法信息量的值；只能给出一个它不能超出的上限。既然只能确定它在低于这一上限值的范围内，因而AIC 是不可计算的。不可计算性这一性质给我们带来种种不便，但使我们不能用算法信息量来定义复杂性的，还有另一个不同的原因。尽管通过AIC 可以引入一些有用的概念，如粗粒化、信息串的可压缩性，以及由观察系统所得出的描述长度等等，但它有一个实实在在的缺陷：它的另一个名字算法随机性就暴露了这一点。随机串的算法信息量最大。它（AIC）是衡量随机性的尺度，但随机性无论是在普通会话中，还是在大多数科学场合中都不是“复杂”的意思。因而AIC 不是真实的或有效的复杂性。但是，在讨论随机性的时候需多加小心，因为这个词的意思在不同的场合并不总是一样的。我第一次意识到这种暗藏的危险，是在很久以前与兰德（RAND）公司的接触中。第四章 随机性
50 年代我刚到加州理工学院工作的时候，我需要找份顾问工作来维持家庭的生计。加州理工学院的教授们每周可以出去做一次顾问工作，我跟同事们打听可去的地方。有一两个人建议我到兰德公司去，该公司位于著名的码头和玛斯卡滩附近的圣莫尼卡（Santa Monica）。
第二次世界大战之后不久，作为美国空军RAND 计划〔RAND 为研究与发展（researchanddevelopment）的简称〕，兰德公司成立了。它的使命就是诸如使军事策略与分派给军队的任务协调一致，给美国空军提供建议，并设计合理的方法。不久之后，公司的作用就扩大为包括在一系列问题上给政府提供建议，这些问题很多都与防御策略有关。兰德计划依然很重要，但是它只给公司提供部分经费，这样，公司成了一个不盈利的企业，于是它扩充为民间提供服务。兰德雇用各种领域的专家，包括政治学、经济学、物理学、数学及军事作战研究方面的专家。
物理所所雇用的成员大部分都是理论物理学家，我也加入了他们的行列。我开始作一些非机密研究，并为此挣得一份薪水。我们从加州理工学院来的3 个人组成了一个车辆合用队，每逢星期三到兰德去工作。“随机”的几个含义
对兰德公司所作的最初几次访问中，我记得最清楚的是，他们递给我一小堆新近提出来的报告，好让我熟悉正在进行的一些工作。其中有一份报告的题目是“兰德随机数表”（RAND Tableof Random Numbers），尽管读起来不那么精彩，但它毫无疑问很有用（不过我被告知，一些图书管理员根据“及100，000 个正常的偏差”这一小标题，将其归入变态心理学一类）。
关于这个报告，我觉得有趣的是里面飘出一小张纸，掉落到了地上。我拾起来一看，发现是张勘误表。兰德公司的数学家们在修正一些随机的数字！他们发现了随机数中的随机错误吗？在很长一段时间里，我认为这是件滑稽的事情，但是后来再思索这件事时，它使我注意到这样一个重要的事实：即便是对数学家和科学家来说，“随机”一词也有着几种不同的意思。
我们前面一直在使用的“随机性”一词，比如用于一个有一千个比特的数串，它的意思是该比特串是不可压缩的。换句话说，它非常地不规则，以至于无法用更短的形式来表示它。但是我们也可以认为，该数串是由“随机过程”所产生的，也就是说，是由抛掷硬币这样的偶然过程所产生的，这里正面用1 表示，反面用0 表示。这两个意思并不完全一样。一千次抛币的一个结果可能是一千个正面，用二进制数表示即为一千个1 组成的比特串。当然，这样一个一千次全是正面的结果不太可能存在。事实上，这种情况出现的概率是1n，其中n 是一个有300 来位数字的巨大的数。因为大多数长的比特串是不可压缩的（随机的）或几乎不可压缩的，所以许多组一千次抛币将得出随机的比特串，但不是所有的各组实验都产生随机比特串。一个避免混淆的办法或许是，用“stochastic”（随机），而不是“random”来表示随机过程，而将“random”主要用于不可压缩的数串。但是兰德公司随机数表中的随机是什么意思呢？这样一个表如何能配备一个勘误表呢？最重要的是，这个随机数表有什么用呢？
兰德公司物理部在1956 年和1957 年所开展的工作之一是一项非机密计划，该计划将应用于天体物理，它需要用相当基本的物理学进行计算。我承担了这一任务，另一个顾问，我的老朋友克斯·布吕克勒（KeithBrueckner）给我提供了一些帮助。部分计算涉及到几个非常困难的近似求和，兰德公司里一个很有趣的物理学家杰斯·马库姆（Jess Marcum）提出，通过一个称为蒙特卡罗的方法，利用随机数表来求和。随机数和蒙特卡罗方法
这个方法很适合于杰斯，因为他不仅是个物理学家，还是个赌徒。早些年，他在玩21 点牌游戏时赢了很多钱。他使用“学者方法”，在大部分情形下，当机会对他不利的时候，他就下小的赌注；而当机会对他有利的时候，例如，所有的十分牌（都是10 和有花的牌）都在牌桌的某一部分，他就赌大的。这个方法仅当使用一副牌的时候管用。不久后，所有的赌场都改变了赌博规则（可以说是对“学者们”适应的结果），而开始同时使用好几副牌。杰斯于是转向其他方面的赌博。
有一次，他曾经向兰德公司请了好几个月的假，去赌赛马。他的方法是，对预测赛马胜负的人进行分析、推测。他不需要熟谙那些马本身，只需研究比赛形式，看每个预测者所预测的机会与实际情况符合的程度。然后他听从成功预测者的建议。但是，他还辅以另外一种方法。每次比赛开始前，他核对布告板，看定出的赔率（反映到那时为止所收赌注的多少）与好的预测者所预言的是否相符。如果不相符，这就意味着参赌的人们在听从其他预测者的建议，或许就是那些名声不好的预测者的建议。杰斯瞅准最好的预测者所预言的赔率与布告板上所定赔率之间的这种差额，重重地下赌注。他用这种方式在赛马场稳稳当当地赚钱。但是不久之后，他总结出，在兰德公司他的薪水至少也有这么多，而且不必冒这么大的风险，因此他又回来工作了。这就是为什么我碰巧可以得到杰斯的帮助。
蒙特卡罗求和法用于对相当庞大的一组数的求和；它给出了一个从数字1 计算第一个量，从数字2 计算第二个量，从数字3 计算第三个量等等的计算规则。该规则使得量的变换从一个数变到另一个数相当顺利；从相应的数字计算每一个量，既冗长又乏味，因此人们往往不愿多做这样的计算。（现在，由于有了极其迅速而功能全面的计算机，我们可以直接求这样的和，但是35 年前的计算机需要有像蒙特卡罗方法这样的技巧，才能进行计算。）
假定我们要求1 亿个量的和。在此之前我们先要从相应的数字，按从1 到1 亿的顺序进行，来计算每个待加量。为了应用蒙特卡罗近似法，我们使用随机数表来得到1 与1 亿之间随机选择的若干个数，不妨假设是5000 个。5000 个数中的每一个，为1 至1 亿之间的任何数的概率是相同的。然后我们计算与这5000 个数相对应的量，将这些量当作待加的1 亿个量的代表性样本，并对它们求和。最后我们将所得结果乘以1 亿被5000 除所得的数（即20，000）。用这个方法，我们以一个短得多的近似计算代替了原来冗长的计算。真随机还是伪随机？
随机数表中应该是大于1 而小于某个固定的大值的一组整数，每个数都是随机挑出来的，而且在挑选过程中，上述范围内的各个数都有同样的被挑选机会。实际上，随机数表通常不是这么产生的，因而是一个伪随机数表！那些数是由计算机按照某个特定的数学规则迅速而容易地得出的，该规则非常地杂乱无章，所以整个过程被认为类似一个随机过程（例如，使用的规则从工程意义上来说可能是混沌性的）。然后，产生的数表可能被进行随机性检验，以确定它是否符合一个由真正的随机过程得出的数表在大多数情况下所应满足的统计标准。在兰德公司的表格里，那些数真是伪随机的吗？最后一刻的检验真的发现了某个�