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突变理论和模糊数学的出现。此外，在解析数论、泛函分析、拓扑学及应用
数学等方面也取得了重大进展。
（1）非标准分析
1960年，德国数理逻辑学家罗宾逊（1918—1974）发表了“非标准分析”
的论文。他的基本思路是：既然无穷小不是一个“数”，在实数系R中没有
* *
它的位置，那么就将实数系扩大，使之成为新的数系R，当微积分在R中实
施时，能够保持牛顿——欧拉时代的直观和简便易行。他用数理逻辑中模型
*
论的方法做到了这一步。在R中每一通常实数是标准数，它的周围聚着许多
“无限小”（非标准数）。1965年，罗宾逊又写了《非标准分析》一书。非
标准分析的创立，表明数学理论由“标准”向“非标准”转化，是解决数学
理论体系内部矛盾，推动数学发展的一个重要途径，是数学思想方法的一个
重大转折。此后，非标准群论、非标准泛函分析、非标准拓扑等学科也相继
产生。但也有人对非标准分析的作用持怀疑态度。
（2）突变理论
突变理论在60—70年代掀起一股热潮。法国数学家托姆 （1923—）从
1968年开始陆续发表文章，论述突变理论。1972年，他出版了《结构稳定性
和形态发生学》。此书一时风靡世界。他通过严格的推导，证明了一个重要
定理：当那些导致突变的连续变化因素少于4个时，自然界各种突变过程，
都可以用7种最基本的数学模型来描述。托姆用突变理论解释生物学、物理
学、社会科学等复杂现象，令人耳目一新。英国齐曼教授看到托姆的理论甚
感兴趣，立即组织一个团体，潜心钻研，几年内发表400多篇论文。70年代
初，突变理论涉及到胚胎学、人性学、医学、生态学、光学、地质学以至囚
犯骚动、战争爆发、市场崩溃等各方面，几乎包罗万象，盛极一时。但在这
些研究中难免会泥沙俱下，出现鱼目混珠、粗制滥造的“伪劣产品”。因此，
70年代末这种现象遭到一些科学家的批评，突变理论热有所降温。近些年突
变理论的数学基础研究仍在不断深入。它的发展潜力很大，但能否有更大作
为还将拭目以待。
（3）模糊数学
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1965年，美国的查德（1921—）教授发表了“模糊集合”一文，创立了
模糊数学。他指出：可以列入一个从0到1的隶属函数来表示该事物是否属
于某个模糊集合的从属程度，以描述事物的模糊性。在经典集合中，可用0
或1表示元素对集合的隶属关系；而在模糊集合中，则可用介于0和1之间
的数表示元素与集合的关系。模糊数学对复杂的具体问题提出了一系列分析
和处理方法。它与非标准分析、突变理论被人称为60年代以来数学上的三大
突破，也有人认为它们掀起了一场“数学革命”。
20多年来，模糊数学发展很快。模糊拓扑学、模糊群论、模糊控制论、
模糊逻辑、模糊语言等许多新分支学科纷纷建立。对模糊语言的研究，将使
人们实现用自然语言与计算机直接对话。
（4）一些数学难题的突破
解析数论是高度抽象的数学分支。“哥德巴赫猜想”是1742年提出的一
个数论难题，被称为“皇冠上的明珠”。这一猜想是：每个大于等于6的偶
数都是两个奇素数之和。200多年来，许多数学家为证明这一难题付出了艰
辛的努力，但仍未能完全解决。中国数学家陈景润 （1933—1996）经过 10
多年的刻苦钻研，于1966年发表了“大偶数可表为一个素数及一个不超过二
个素数的乘积之和”的论文，把哥德巴赫猜想研究推进到（1，2）的高水平，
离摘取这颗明珠只差一步，受到国际数学界的重视。他创立的“陈氏定理”，
在数论中占有重要的地位。
著名的“四色问题”是一个拓扑学问题。它是1852年提出来的一个猜想：
每幅地图都可以只用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜
色。20世纪以来，对于“四色问题”的证明逐步接近成功。1976年，美国伊
利诺大学的哈肯和阿佩尔在IBM360计算机上分1482种情况检查，一一检验
了它们都是可约构型，于是证明了“四色问题”。整个证明用了1200多个机
时。“四色问题”的解决，开创了计算机证明的范例。
60年代以来，庞加莱猜想、魏尔猜想、卡拉比猜想、比伯巴赫猜想、塞
尔猜想、鲁金猜想等一大批数学难题被先后攻克，在当代数学史上写下了光
辉的篇章。
当代数学虽然更加抽象、复杂、艰深，但它产生的思想和方法，对自然
科学和社会科学都产生深刻影响，为其提供了有力的工具。同时，计算数学、
计算机的发展，在科学、技术、社会各个领域都发挥了重大作用。
2。信息论的产生和发展
40年代以前，人们对信息的研究已取得一定成果。一方面，人们深入研
究了精确传输通信符号问题；另一方面，又对信息概念的描述问题作了探讨。
推动信息论形成的直接原因，是第二次世界大战期间和战后通信发展的
需要。当时，从接收信号中滤除各种噪声，在控制火炮射击的随动系统中跟
踪一个具有机动性能的目标等问题，都需要从理论和实践上予以解决。雷达
技术、电子技术、自动控制技术的发展，也对信息论的产生起了促进作用。
信息论的创始人是美国数学家申农（1916—）。1948年，他发表了一篇
论文“通讯的数学理论”。他认为，“通信的基本问题就是精确地或近似地
在一点复现另一点选择的信号”，通信就是将信息由发信者传给受信者。他
提出了通信系统的随机模型，把许多复杂的通信机构简化为由信源、编码、
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信道、噪声、译码及信宿组成的一个信息系统。申农这一通信模型，不仅适
用于技术系统，而且可以推广到生命和社会系统，具有普遍意义。
申农把信息定量化，使通信科学由定性阶段进入定量阶段。他把信息看
作是用以消除不确定的东西。信息数量的大小可以用被消除的不确定性多少
来表示，而事物不确定性的多少用概率来描写。申农对通信的技术问题也作
了全面的研究，解决了如何从信息接收端提取由信息源发来的消息的技术性
问题。他还提出如何充分利用信道的信息容量问题，找到了如何在有限信道
中以最大速率传送信息的基本途径，初步解决了怎样编码、译码才能使信源
信息充分表达、信道被充分利用的问题。
申农的研究工作具有开创性的意义。信息论产生以后，一方面应用于多
种学科和技术领域，另一方面不断完善本身的理论体系。
1950年和1956年，布里渊（1889—）发表了 《生命、热力学和控制》、
《科学与信息论》等著作。他试图把信息熵与热力学熵、把信息与具体物理
过程联系起来。他将信息论推广到了物理学领域。此后，信息论又逐渐向生
物学、医学、语言学、经济管理等学科渗透。
50年代后，信息论的精确化受到注意。许多人试图建立信息论的公理体
系。1953年，麦克米伦发表“信息论的基本定理”；辛钦发表“信息论的数
学基础”。申农等人以后也对熵测度原理作过改进。
70年代，在语义和有效性问题的研究中开始出现一些新的概念和理论。
1971年，高艾斯等人提出了“有效信息”的概念。1978年，夏尔马等人提出
了非可加性的“广义有效信息”概念。1965年，模糊数学创立以后，为适应
图象识别和视觉问题的发展需要，又产生了“模糊信息论”。
在信息论、控制论、计算机科学、系统工程和人工智能等科学技术基础
之上，形成了一门崭新的边缘学科——信息科学。它的任务是研究信息的获
取、存贮、变换、传递、处理、利用和控制的一般规律。信息科学在当代科
学技术中占据十分重要的地位。
3。控制论的产生和发展
控制论是美国数学家维纳 （1894—1964）于1948年创立的。维纳在20
—30年代就对自动控制系统有极大兴趣。第二次世界大战期间，他参加了火
炮自动控制的研究工作。这对他创立控制论具有决定性的意义。他研究了随
机过程的预测和滤波理论在自动火炮上的运用，为控制论提供了数学方法。
更重要的是他把火炮自动打飞机的动作过程与人狩猎的行为作了类比，从中
发现了重要的反馈概念。他认为稳定活动的方法之一，是把活动的结果所决
定的一个量，作为信息的新调节部分，反馈回控制仪器中。1943年，维纳等
人共同发表了“行为、目的和目的论”一文，标志控制论开始萌芽。
1943—1944年，维纳和冯·诺伊曼（1903—1957）发起，在普林斯顿召
开了有工程师、生物学家、心理学家、数学家参加的交叉学科的学术讨论会。
1946年，在纽约召开了反馈问题的学术讨论会。这两次会议对控制论的产生
起了重要的推动作用。维纳对会议形成的一些概念和思想加以总结，在1948
年写成了《控制论》一书。该书引进了系统、目的、反馈、信息、功能模拟、
黑箱方法等一系列独特的概念，讨论了如何实现对系统的控制问题。《控制
论》的出版，成为控制论诞生的标志。
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此后，控制论又扩展出工程控制论、生物控制论、经济控制论等分支学
科。
1954年，中国科学家钱学森 （1911—）运用控制论的基本思想和概念，
结合战争中迅速发展的伺服机理论，把控制论运用于工程的自动控制系统的
设计、分析中，完成了经典控制论的综合，创立了《工程控制论》。60年代
初，现代控制理论发展起来，70年代，又出现了第三代控制理论。
1954年，英国的艾什比发表了《大脑设计》，对生物控制论创立做出了
奠基性贡献。1956年，他又写了《控制论导论》，指出生物学对控制论形成
的历史作用，应用控制论原理探讨了生物系统的特殊问题。30多年来，控制
论不仅在生物学整体水平和细胞水平的应用上成就斐然，而且已深入到分子
水平，由宏观进入到微观领域。生物控制论的产生和发展，大大促进了生物
学、分子生物学、神经生理学和神经心理学的发展，同时也有助于人们更好
地模仿精巧的生物体的控制机理，制造各种仿生装�