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的方法来描述光子或电子的行经路程，两个小孔的例子很清楚地说明了这一点。电子或光子似乎是穿过两个小孔的，因此，用从前的经典方法来描述电子或光子的路程，就不可能解释这种效应了。
当然我们必须认定像电子或光子穿过两个小孔那样的基本作用的存在。物质的基本量子和能的基本量子的存在是不容怀疑的，不过基本定律肯定不能用经典力学中只说明它们在任一时刻的位置和速度那样简单的方式来表述。
因此要试试其他不同方法。我们不妨将同一基本过程不断加以重复，把电子一个接着一个朝小孔方向射去。这里用“电子”这两个字只是为了叙述得明确一些而已，我们的论证对于光子也同样适用。
把同一个实验以完全相同的方式重复很多次，在实验中所有的电子具有同样的速度并且都对着两个小孔的方向运动。不用说，这是一个理想实验，事实上不可能实现，只是很容易想象而已。我们不能像用枪发射子弹那样在一定时刻把电子或光子一个一个地发射出去。
一系列重复实验的结果一定仍然是：电子穿过一个小孔时出现亮环和暗环，而两个小孔的则出现亮带和暗带。但是有一个主要的差异。如果只有一个单独的电子实验一次，实验的结果便不可理解。如果把实验重复许多次，就比较容易理解了。我们现在可以说，亮带就是有落有很多电子的地方，而电子落得比较少的地方就成为暗带，完全黯黑的斑点表示一个电子也没有落到的地方来。我们当然不能认定所有的电子都穿过两个小孔中的一个。因为假如是这样的话，打开或关闭另一个小孔就应当没有什么区别了。但是我们已经知道，当关上了第二个小孔时，所得到的结果是不同的。由于一个粒子是不可分裂的，我们也不能认定它同时穿过两个小孔。把实验重复多次的情况指出了另一条出路，某些电子穿过第一个小孔，而另一些电子穿过第二个小孔。
我们不知道为什么个别的电子特地选择了这个或那个小孔，不过重复实验的最后结果一定是两个小孔都参加了把电子从发射源传送到屏幕去的工作。如果我们只说到在实验重复很多次时一群电子所发生的事，而不考虑单个电子的行为，那末有亮环的图和有亮带的图之间的区别就变得可以理解了。对上述实验作出讨论的结果，诞生了一个新的观念，即群体中个体的行为是不可预知的。我们不能预言某一个别电子的行经路程，但是我们可以预言，屏幕上终于会显示出亮带和暗带。
我们暂且不谈量子物理学。
在经典物理学中我们看到，如果我们已知某一时刻质点的位置和速度，以及作用在它上面的力，就可以预言它的未来路径。我们也看到了力学的观点怎样被应用到物质动理论中去。但是根据我们的推理，有一个新的观念在这个理论中诞生了。全盘地掌握这个观念，对于理解以后的论证是很有帮助的。
设有一充满气体的容器，要想探测其中每一粒子的运动，必须首先找出它的初始状态，即所有粒子的起先位置和初速度。即使可能这样做，要把结果记在纸上也是一生一世都写不完的，因为要考察的粒子的数目实在太大了。假使有人因此试图用经典力学中已知的方法来计算粒子的最终位置，困难也是无法克服的。原则上可能采用计算行星运动所用的那种方法，但是在实际中这种方法是没有用处的，而必须用统计方法来代替。这种方法不需要对初始状态有确切的知识。对于一个体系在任一已知时刻的情况知道得比较少，我们能说出它的过去或未来也比较少。我们现在不去关心个别气体粒子的命运了，我们的问题性质不同了。例如，我们不问：“在这一时刻每一个粒子的速率有多少？”而要问：“有多少粒子具有1000－1100米每秒的速率？”我们不管个体，我们只去测定能代表整个集体的平均值。很明显，统计的推理方法只能用于由数量非常多的个体所组成的体系。
应用统计方法，我们不能预言群体中一个个体的行为。我们只能预言个体作某些特殊方式的行为有多少机会（几率）。假如统计律告诉我们有1／3的粒子的速度是1000－1100米每秒，就表示对大量粒子进行许多重复的观察，才会得到这个平均值；或者换一个说法，这表示在这个速度范围内找到一个粒子的几率是1／3。
同样，知道了整个社会的婴儿出生率，并不意味着已知道了任何个别家庭是否生了孩子。这只是表示统计的结果，在这些结果中，个体的性质是不起作用的。
通过对大量汽车牌照的观察，我们会很快发现这些牌照的号码中有1／3可以用3除尽。但我们不能预言下一时刻将要通过的一辆汽车的牌照号码是否具有这个性质。统计规律只能用于大集体，而不能用于组成这个集体的单一个体。
现在我们可以回到量子问题上来了。
量子物理学的规律都是统计性质的。这句话是说，它们不是关联于一个单一体系的规律，而是关联于许多同等体系的一个集团的规律，这些规律不能由对一个个体所作的测量来验证，而只能用一系列重复的测量来验证。
放射性蜕变就是量子物理学企图为许多现象建立起它们的规律中的一个现象，量子物理学企图建立一个规律来决定怎样由一种元素自发地转化为另一种元素。例如，我们知道1克镭经过1600年，会蜕变一半，剩下来一半。我们可以预言以后半个小时内，大约有多少原子将要蜕变，但是我们即使用理论上的描述，也不能说明为什么正好是这些原子注定要走向蜕变的道路。根据目前的知识，我们没有能力指出哪些原子是注定要蜕变的。一个原子的命运并不取决于它的寿命长短。决定它们单独行为的规律，连一点线索都没有。我们只能建立掌握原子大集团的统计规律。
再举另一个例子。把某一种元素的发光气体放在光谱仪之前就显现出一些有确定波长的谱线。一组不连续的、确定波长的谱线出现，是原子内部存在基本量子的表征。但是这个问题还有另一方面，谱线中有一些十分清楚，而另一些则比较模糊。清楚的谱钱表示属于这个特定波长的光子发射出来的数量比较多，而模糊的谱线则表示属于这个波长的光子发射出来的数量比较少。这理论再一次告诉我们，它只是统计性质的。每一谱线相应于一个由较高能级到较低能级的跃迁。理论只告诉我们这些可能的跃迁中每一个跃迁的几率，而完全不提及某一特定原子真实的跃迁。这种理论在这里是很适用的，因为在所有这些现象里都牵连到巨大的集团，而不是单个的个体。
看来这新的量子物理学与物质的动理论有某些相似之处，因为两者都是统计性质的，而且都关联于巨大的集团。但实际上并不如此。在这个类比中了解其相似性是重要的，了解它们之间的差别则更为重要。物质的动理论和量子理论的相似性主要在于它们的统计性质，但差别怎样呢？
假使我们想知道在某一城市里超过20岁年龄的男人和女人有多少，我们就必须让每个公民填写调查表上的性别、年龄等栏目。假设每个人都填对了，那末我们把它数一下再加以分类，就得到统计性的结果。这时对于表中所填的个人姓名和地址是不会去注意的。我们的统计观点是根据许多个体的知识而得来的。同样，在物质的动理论中掌握集体行为的统计规律是根据个体的规律而得到的。
但是在量子物理学中，情况就完全不同了。这里的统计规律是直接得出的，完全排除了个体的规律。在穿过两个小孔的电子或光子的例子中，我们已经看到，不能像经典物理学中所做的那样去描述基本粒子在空间和时间里可能的运动。
量子物理学放弃基本粒子个体的规律而直接说明支配集体的统计规律。我们不可能根据量子物理学像根据经典物理学那样去描述基本粒子的位置和速度，以及预言它未来的路径。量子物理学只和集体打交道，它的规律也是关于集体的规律而不是关于单一个体的。
是迫切的需要，而不是爱好空想或爱好新奇的心理迫使我们改变古老的经典观念。我们只要举出一个例子（衍射）就足以说明应用旧观点的困难了。但也可以引出其他很多同样有力的例子。由于我们力图理解实在，因而迫使我们不断地改变观点。但是只有等到将来，才能决定我们所选择的是不是惟一可能的出路以及是不是还可以找到更好的解决困难的办法。
我们现在已经放弃把个体的例子作为在空间和时间里的客观现象来描述，我们现在已经引入统计性的规律。它们是现代量子物理学的主要特征。
以前，在介绍新的物理实在例如电磁场和引力场的时候，我们曾尽量用通俗的字句来说明已经用数学方法表述观念的那些方程式的特色。现在我们对于量子物理学也将用同样的方法来说明，我们只非常粗略地提到玻尔、德布罗意、薛定谔、海森伯、狄喇克和玻恩等人的工作。
我们来考察一个电子的情形，电子可以受任意外部电磁场的影响或完全不受外力的影响。例如，它可以在一个原子核的场中运动，或者在一个晶体上衍射。量子物理学告诉我们怎样对这些问题写出数学方程来。
我们已经认识到振动的弦、鼓膜、吹奏乐器以及任何其他声学仪器为一方，辐射的原子为另一方的这两方面的相似性。在支配声学问题的数学方程和支配量子物理学问题的数学方程之间也有某些相似性，但是用于这两种情形中的定量的物理解释又是完全不同的。除了方程式有某些形式上的相似以外，描述振动弦的物理量和描述辐射原子的物理量具有完全不同的意义。拿振动的弦作为例子，我们要问弦上任意一点在任意时刻与正常位置的偏差有多少。知道了这一时刻弦的振动形状，我们就知道了所有需要知道的东西了，因此在任一其他时刻对于正常位置的偏差可以由弦的振动方程计算出来。对于弦上每一点相应于某一确定的偏差这一情况，可以更严格地用下述方式来表达：在任何时刻对正常位置的偏差是弦的坐标的函数。弦上全部的点构成一个一维连续区，而偏差就是在这个连续区中所确定的函数，并可由弦的振动方程计算出来。
在电子的例子中也类似地有一定的函数与空间中的任一点和任一时刻相对应。这个函数被称为几率波。在我们所作的类比中，几率波相当于声学问题中与正常位置的偏差。几率波是一定时刻三维连续区的函数；而在弦的情况中，偏差是一定时刻一维连续区的函数。几率波构成了我们正在研究的量子体系的知识总汇，它使我们能够回答所有和这个体系相关的统计问题。它并不告诉我们电子在任一时刻的位置和速度，因为这样一个问题在量子物理学中是没有意义的。但是它告诉我们在特定的一点上遇到电子的几率，或者告诉我们在什么地方遇到电子的机会最多。这个结果不止涉及一次测量，而是涉及很多次重复的测量。这样，量子物理学方程可决定几率波，正像麦克斯韦方程可决定电磁场，或万有引力方程可决定引力场一样。量子物理学的定律又是