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家，这一个短语的意思就不明确了。在数学里你可以说“ｘ的平方”，但是不能说“ｘ
的平方根”，因为ｘ有两个平方根。前面所列的表里的“范围”、“相反范围”和“领
域”都产生叙述函项。
第二种极其重要的关系是在两个类之间建立一种相互关系的那种关系。这种关系我
名之曰“一对一”的关系。这是这样一种关系，在这种关系中，不仅最多只有一个对于
一个既定的ｙ有Ｒ关系的ｘ，而且最多也只有一个ｙ，对于这个ｙ一个既定的ｘ有Ｒ关
系。举一个例子：禁止一夫多妻的婚姻。
凡是在两个类之间有这样一种相互关系存在，这两个类的项的数目就是一样的。举
例来说：不用计算我们就知道妻的数目和夫的数目是一样的，人的鼻子的数目和人的数
目是一样的。有一种特殊形式的相互关系，这种关系也是极其重要的。
这种相互关系的起因是：有两个类是Ｐ和Ｑ两个关系的领域，并且在它们之间有一
种相互关系，凡是两个项有Ｐ这种关系的时候，它们的相关者就有Ｑ这种关系，反之亦
然。结过婚的官吏的位次和他们的妻的位次就是一个例子。如果这些妻不和贵族有关系，
或者如果这些官吏不是主教，这些妻的位次就和丈夫的位次是一样的。这种产生相互关
系的东西名曰“次序的相互关系产生者”，因为不管在Ｐ领域中的各项有怎么一种次序，
这种次序总保存在Ｑ领域中的它们的相关者中。
第三种重要的关系类型是产生系列的一种关系。“系列”是一个旧的，人人都熟悉
的名辞，但我认为我是给这个辞以一个确切意义的第一个人。一个系列就是一个组，包
含若干项，这些项有一个次序，这个次序来源于一种关系，这种关系具有三种性质：
（ａ）这种关系一定是不对称的，那就是说，如果ｘ对ｙ有这种关系，ｙ对ｘ就没有这
种关系；（ｂ）它一定是及物的，那就是说，如果ｘ对ｙ有这种关系，并且ｙ对ｚ有这
种关系，ｘ对ｚ就有这种关系；（ｃ）它一定是连接的，那就是说，如果ｘ和ｙ是这种
关系领域中的任何不同的两项，那么，不是ｘ对于ｙ有这种关系，就是ｙ对于ｘ有这种
关系。如果一种关系具备了这三种性质，它就把它领域中的各项排列在一个系列中。
所有这些性质都很容易用人与人关系的例子来说明。·丈·夫这种关系是不对称的，
因为如果Ａ是Ｂ的丈夫，Ｂ就不是Ａ的丈夫。相反，配偶就是对称的。祖先是及物的，
因为Ａ的一个祖先的一个祖先是Ａ的一个祖先；但是·父·亲是不及物的。在一个系列
关系所必具的三个性质之中，祖先具备两个，不具备第三个，“连接”，那个性质，因
为，并不是任何两个人之中，一个一定是另一个的祖先。另外一方面，举例来说，如果
我们看一看一个皇室的王位继承，儿子总是继承父亲，仅限于这个王系的祖先关系是连
接的，所以这些国王形成一个系列。
上面这三种关系是逻辑和普通数学之间过渡的极为重要的关系。
现在我想进而把几种发展的大意说一说，以上所讲的逻辑上的那一套对于这些发展
是很有用的。但是在讲之前，我先说几句概括的话。
在我年轻的时候，人家告诉我说，数学是关于数目和量的科学，另一种说法是，数
学是关于数目和度量的科学。这一个定义失之过于狭隘。第一：在传统的数学里所讲的
那些很多不同种类的数目只占数学方法所应用到的那个范围的一小部分，并且，为建立
算术的基础我们所不能不有的推理是和数目没有很密切的关系的。第二：在讲算术和算
术的绪论的时候，我们不可忘记，有些定理对于有限的和无限的类或数来说都一样是真
的。只要可能，我们不应该只为前者对于这些定理加以证明。说得更普通一些，如果在
比较普遍的范围内我们可以证明一些定理，我们认为，在特殊某类的实例中对于这些定
理加以证明是一件耗费时间的事。第三：算术中的一些传统的形式定律，即，结合定律，
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
交互定律，
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
以及乘法上的一些类似的定律
和分配定律
ａ×（ｂ＋ｃ）＝（ａ×ｂ）＋（ａ×ｃ）
我们认为证实这些定律是我们的目的的一部分。初学数学的人只学了这些定律而无
证明，要不然，如果有证明，他们是用数学归纳法，因此只对于有限数是有效的。加法
和乘法上的普遍定义假定因数的数目是有限的。我们竭力想去掉包括以上所说那一种在
内的一些限制。
用所谓“选择”的方法，我们可以把乘法扩展到无限多的因数。用选举议会的议员
这个例子最容易使我们明白选择这个概念是什么。假定在该国家里每一个选举出来的议
员必须是选民中的一员，整个议会就是自选民而来的一个所谓“选择”。大意是这样：
如果有一个由若干类而成的类，那若干类中没有一个是零，选择就是一种关系，从每类
中挑出一个项来做那类的“代表”。这样做法的数目（假定没有一项为两类所共有）就
是这些类的数目的积数。举例来说，假定我们有三个类，第一个是由ｘ１，ｘ２，ｘ３
而成，第二个由ｙ１，ｙ２，ｙ３而成，第三个由ｚ１，ｚ２，ｚ３而成，凡是包含一
个ｘ，一个ｙ和一个ｚ的类就是自三类的类而来的一个选择。无论哪一个读者都不难弄
明白有二十七种办法来做这种选择。
在我们采用了这种乘法的定义之后，我们遇到了一种没有想到的困难。如果类的数
目是无限的，好象我们就无法确知选择是可能的。如果这些类的数目是有限的，我们可
以从每一类里任意挑出一个代表来，在大选里就是这样；但是，如果这些类的数目是无
限的，我们就无法有无限数目的任意的挑选，并且我们不能确知可以做出一个选择来，
除非有一个内包来得到所希望的结果。我举一个例子：从前有一个百万富翁，他买了无
数双鞋，并且，只要他买一双鞋，他也买一双袜子。我们可以作一个选择，从每双鞋里
挑一只，因为我们总是可以挑右鞋或者挑左鞋。所以，就鞋来说，选择是存在的。但是，
论到袜子，因为没有左右之分，我们就不能用这个选择的规则。如果我们想从袜子之中
能够加以选择，我们就不能不采取一种精密得多的方法。例如，我们可以找出一个特点
来，在每双袜子中有一只比另一只更近于这个特点。
这样，我们从每一双里挑选那一只比较近于这个特点的袜子，我们就选择出来了一
套。我曾有一次把这一个谜说给在三一学院教职员餐桌偶尔坐在我一边的一位德国数学
家听，可是他唯一的评语是：“为什么说百万富翁？”
有些人以为，不言而喻，如果这些类之中没有一个是零，从每类中选择出一个来就
一定是可能的。另有一些人则认为不然。关于这一点，皮亚诺说得最好：“这一个原则
正确不正确呢？我们的意见是没有价值的。”我们对于我们所谓“乘法公理”所下的界
说是：这是假定永远可能从一组若干类中的每一个（这些类没有一个是零）选出一个代
表来。我们找不到赞成或反对这个公理的论证，因此我们把这一个公理明白地包括在应
用这个公理的任何定理的假定中。在我们遇到这一个问题的同时，载尔美乐提出了他所
说的“选择原理”，这是一个略为不同但在逻辑上相等的假定。他和一些别的人把它看
做是一个自明的真理。因为我们并不采取这一个意见，我们尽力寻求一些方法来对付乘
法而不假定这个公理是真的。
选择的逻辑学说无论在哪一点上都不依赖“数目”这个概念，在《数学原理》里我
们是在给“数目”下界说之前提出来选择学说的。这种意思也可以用于另一个极其重要
的概念，也就是，在普通语言里用“等等”这些字所表示C的那个概念。
假定你想用“父母”这个概念来说明“祖先”这个概念。
你可以说，Ａ是Ｚ的祖先，如果Ａ是Ｂ的父（或母）亲，Ｂ是Ｃ的父（或母）亲，
等等，并且这样在有限的多少步之后，你达到Ｙ这个人，他是Ｚ的父（或母）亲。这都
没有问题，只是有一件，这里边包含“有限的”这几个字，这几个字不能不加以界说。
只有用一个完全一般的概念的特殊应用，给“有限的”下定义才是可能的，就是，从任
何既定的关系而来的祖先关系那个概念。这个祖先关系概念最初是弗雷格远在一八七九
年发展出来的，但是直到怀特海和我发展出这个概念来的时候，弗雷格的工作一直没有
为世人所注意。我们想加以界说的这个概念可以初步解释如下：如果ｘ对于ｙ具有Ｒ关
系，我们姑且把ｘ到ｙ这一步称为“Ｒ步”。你可以从ｙ到ｚ再走一Ｒ步。凡是通过从
ｘ开始的那些Ｒ步你所能达到的东西，我们都说成为关于Ｒ的ｘ的“后代”。我们不能
说凡是通过一个“有限数目的Ｒ步”你所能达到的东西，因为我们还没有对于“有限”
这个辞加以界说。我们只有借“后代”这个概念才能给它下一个界说。关于Ｒ的ｘ的后
代可以界说如下：我们先给关于Ｒ的一个“世传的”类下一个界说。
这是有这样性质的一个类：凡是从这个类的一项通过一Ｒ步所达到的东西就又是这
个类的一项。举例来说，“斯密”这个名称的性质是在父子关系中世传的，人性这种性
质是在父母对子女的关系中世传的。“如果ｙ属于ｘ所属于的每个关于Ｒ的世传的类，
ｙ就属于关于Ｒ的ｘ的后代”，我现在说明这是什么意思。现在让我们把这个应用于普
通的整数，用一个数目对于它下面紧接着的那个数目的关系来代替Ｒ。如果我们现在看
一看关于这一个数目的０的后代，显然１是属于这个后代，因为１＝０＋１；而且，因
为１属于０的后代，２也是如此；而且，因为２是如此，３也就是如此。这样下去，我
们就得到一整套都属于０的后代的数目。我们可以把用所谓“数学归纳法”的证明应用
于所有这些数目。数学归纳法是这样一个原理：如果一个性质属于０，并且属于有这个
性质的任何数目下面紧接着的那个数目，那么，这个性质就属于所有的有限数。把“有
限”数说明为０的后代，这是这个定义的直接结果。从前大家以为数学归纳法是一个原
理，因为从前以为一切数目一定是有限的。这是一个错误。数学归纳法不是一个原理，
而是一个定义。对于有些数目来说它是正确的，对于另一些数目来说它是不正确的。凡
它能适用的数目就是有限数。举例来说，把１加到一个有限数上，这个有限数就增加了；
一个无限数就不是这样。
整个这个祖先关系学说不但对于数目说来是十分重要的。因为这个理由，我们在提
出数的定义来以前就创立了这个学说。
现在我来讲一个东西，我名之为“关系算术”，这占了《数学原理》第二卷的后半
本的篇幅。从数学的观点来看，这是我对于这部书最重要的贡献�